Question

如圖，已知正方形ABCD與正方形EFGH的邊長(zhǎng)分別是4

2

和2

2

，它們的中心O₁，O₂都在直線l上，AD∥l，EG在直線l上，l與DC相交于點(diǎn)M，ME=7-2

2

，當(dāng)正方形EFGH沿直線l以每秒1個(gè)單位的速度向左平移時(shí)，正方形ABCD也繞O₁以每秒45°順時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始旋轉(zhuǎn)，在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，它們的形狀和大小都不改變．
（1）在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前，O₁O₂=

 

；
（2）當(dāng)兩個(gè)正方形按照各自的運(yùn)動(dòng)方式同時(shí)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，正方形ABCD停止旋轉(zhuǎn)，這時(shí)AE=

 

，O₁O₂=

 

；
（3）當(dāng)正方形ABCD停止旋轉(zhuǎn)后，正方形EFGH繼續(xù)向左平移的時(shí)間為x秒，兩正方形重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)前O₁O₂=O₁M+ME+O₂E，O₁M=

1

2

AD=2

2

，O₂E=

2

2

EH=2，因此O₁O₂=9．
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)3秒后，A在直線l上，O₁A=

2

2

AD=4，O₁E=7-3=4，因此O₁E=O₁A，A、E重合，即AE=0．
O₁O₂=O₁A+O₂E=4+2=6．
（3）本題要分四種情況：
①當(dāng)0≤x＜4時(shí)，圖1，重合的小正方形對(duì)角線AE=x，因此y=

1

2

x²．
②當(dāng)4≤x＜8時(shí)，圖2，正方形EFGH在正方形ABCD內(nèi)部，重合部分的面積就是正方形EFGH的面積．
③當(dāng)8≤x＜12時(shí)，圖3，參照①的解法．
④當(dāng)x≥12時(shí)，此時(shí)兩正方形不重合，因此y=0．

解答：解：（1）9．

（2）0，6


（3）當(dāng)正方形ABCD停止運(yùn)動(dòng)后，正方形EFGH繼續(xù)向左平移時(shí)，與正方形ABCD重疊部分的形狀也是正方形．
重疊部分的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系應(yīng)分四種情況：
①如圖1，當(dāng)0≤x＜4時(shí)，
∵EA=x，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

x2

2

．
②如圖2，當(dāng)4≤x＜8時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=（2

2

）²=8．
③如圖3，當(dāng)8≤x＜12時(shí)，
∵CG=12-x，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

(12-x)2

2

=

1

2

x²-12x+72．
④當(dāng)x≥12時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題為運(yùn)動(dòng)性問(wèn)題，考查了正方形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．