Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D為BC上一點(diǎn)，且BD=2

2

，∠BDA=105°．
（1）求AD的長度；
（2）求cos∠DAC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：幾何圖形問題

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)sin∠DBE=

DE

BD

，得出DE的長，再根據(jù)∠DAE=180°-45°-105°=30°，即可求出AD；
（2）設(shè)CD=x，則AC=BC=2

2

+x，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理AC²+CD²=AD²，求出x的值，從而得出AC的值，最后根據(jù)余弦定理即可得出答案．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，
∵sin∠DBE=

DE

BD

，
∴DE=sin45°×2

2

=2，
∵∠BDA=105°，
∴∠DAE=180°-45°-105°=30°，
∴AD=2DE=4；

（2）設(shè)CD=x，則AC=BC=2

2

+x，
在Rt△ACD中，
∵AC²+CD²=AD²，
∴（2

2

+x）²+x²=4²，
解得：x₁=

6

-

2

，x₂=-

2

-

6

（舍去），
∴AC=2

2

+

6

-

2

=

6

+

2

，
∴cos∠DAC=

AC

AD

=

6 + 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造直角三角形．