Question

已知，如圖，直線y=

3

2

x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y=

k

x

在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，且S_△AOC=6．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D（4，a）為此雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得PC+PD的值最小．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)直線求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△AOC=6求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再根據(jù)直線求得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，從而把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入雙曲線解析式，求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中求得的解析式求出a，確定點(diǎn)D的位置，再利用軸對(duì)稱的知識(shí)確定動(dòng)點(diǎn)P即為連接點(diǎn)D和點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)的直線與x軸的交點(diǎn)．

解答：解：（1）在直線中，令y=0，則x=-2，即點(diǎn)A（-2，0）．
∵S_△AOC=6，點(diǎn)C在第一象限，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是6．
∵直線與雙曲線y=

k

x

在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，
∴把y=6代入直線y=

3

2

x+3中，得
x=2，
即點(diǎn)C（2，6）．
把點(diǎn)C（2，6）代入y=

k

x

中，得
k=12，
則反比例函數(shù)的解析式是y=

12

x

．

（2）∵點(diǎn)D（4，a）為此雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，
∴a=3．
要使PC+PD的值最小，
則作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E（2，-6），連接DE交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．
設(shè)直線DE的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意，得

2k+b=-6 4k+b=3

，
解，得

k=4.5 b=-15

，
則直線的解析式是y=4.5x-15，
令y=0，則x=

10

3

，
即點(diǎn)P（

10

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的方法以及利用軸對(duì)稱的知識(shí)求在某直線上確定一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和最小的方法．