Question

（2009•臨沂）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)AD=a，BC=b，則四邊形AEFD的周長(zhǎng)是（ ）

A．3a+b
B．2（a+b）
C．2b+a
D．4a+b

Answer 1

【答案】分析：過D作DG∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可求得BE的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得到四邊形ACGD是平行四邊形，△BDG，△DFG分別是等腰直角三角形，再根據(jù)周長(zhǎng)公式即可求得四邊形AEFD的周長(zhǎng)．
解答：解：根據(jù)題意，先作如圖所示的輔助線，
由四邊形ABCD是等腰梯形，可得AC=BD，且AD=EF=a，BE=FC==；
作DG∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于G．
∵AD∥BC，AC∥DG
∴四邊形ACGD是平行四邊形
∴AD=CG=a，DG=AC=BD
∵BD⊥AC，AC∥DG
∴BD⊥DG
在△BDG中，BD⊥DG，BD=DG
∴△BDG是等腰直角三角形
∴∠G=45°
在△DFG中，∠G=45°，∠DFG=90°
∴△DFG是等腰直角三角形
∴DF=FG=FC+CG=+a
由題意易得四邊形AEFD是矩形，故其周長(zhǎng)為2（AD+DF）=2（a++a）=3a+b．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題以等腰梯形為載體，綜合考查了等腰直角三角形、平行四邊形、矩形的性質(zhì)和判定以及等腰梯形的性質(zhì)和最基本輔助線作法，知識(shí)聯(lián)系強(qiáng)．