Question

設(shè)a、b、c表示三角形三邊的長(zhǎng)，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果b＝n(n是自然數(shù))，試問(wèn)這樣的三角形有多少個(gè)？

Answer 1

答案：
解析：

解析：我們先來(lái)研究一些特殊情況： 　　(1)設(shè)b＝n＝1，這時(shí)b＝1，因?yàn)閍≤b≤c，所以a＝1，c可取1，2，3，…．若c＝1，則得到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b＝2，那么a＋b不大于第三邊c，這時(shí)不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見(jiàn)，當(dāng)b＝n＝1時(shí)，滿足條件的三角形只有一個(gè)． 　　(2)設(shè)b＝n＝2，類似地可以列舉各種情況如下表． 　　這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＝3． 　　(3)設(shè)b＝n＝3，類似地可得下表． 　　這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3＝6． 　　通過(guò)上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b＝n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3＋…＋n＝． 　　這個(gè)猜想是正確的．因?yàn)楫?dāng)b＝n時(shí)，a可取n個(gè)值(1，2，3，…，n)，對(duì)應(yīng)于a的每個(gè)值，不妨設(shè)a＝k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(gè)(n，n＋1，n＋2，…，n＋k－1)．所以，當(dāng)b＝n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3＋…＋n＝．