作業(yè)寶在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),點B的坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,3),頂點為D.
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)聯(lián)結AC,BC,求∠ACB的正切值;
(3)點P拋物線的對稱軸上一點,當△PBD與△CAB相似時,求點P的坐標.

解:(1)∵拋物線過點B(3,0),點C(0,3),
,
解得,
∴拋物線解析式為:y=x2-4x+3,
又∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴頂點D的坐標是:D(2,-1);

(2)∵拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A、B兩點(點A在B點的左側),
∴A(1,0),
又∵O(0,0),C(0,3),B(3,0),
∴BO=CO=3,
∵∠COB=90°,
∴∠OBC=45°,BC=3,
過點A作AH⊥BC,垂足為H,
∴∠AHB=90°,
∵AB=2,∴AH=BH=,
∴CH=BC-BH=2,
∴tan∠ACB===;

(3)設對稱軸與x軸相交于點E,則AE=3-2=1,DE=|-1|=1,
∴AD==,且∠ADE=45°,
在△ABC中,AB=3-1=2,
BC===3,且∠ABC=45°,
設點P的坐標是(2,y),
∵△ADP與△ABC相似時,
∴①當AD與AB是對應邊時,=,
=,
解得DP=3,
y-(-1)=3,
解得y=2,
∴點P的坐標是(2,-1)
②當AD與BC是對應邊時,=,
=,
解得DP=,
y-(-1)=
解得y=-,
∴點P的坐標是(2,-).
綜上所述,點P的坐標是(2,2)或(2,-).
分析:(1)把點B與點C的坐標代入拋物線解析式,利用待定系數(shù)法求解,把解析式整理成頂點式即可寫出頂點坐標;
(2)首先得出A點坐標,進而得出∠OBC=45°,BC=3,再過點A作AH⊥BC,垂足為H,利用tan∠ACB=求出即可;
(3)先求出邊AD,BC、AB的長度,根據(jù)數(shù)據(jù)可得∠B與∠D都是45°角,然后分AD與AB是對應邊與AD與BC是對應邊兩種情況利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出DP的長度,從而點P的坐標便可求出.
點評:本題考查了二次函數(shù)綜合題待、定系數(shù)法求函數(shù)解析式,頂點坐標,三角形的面積,相似三角形對應邊成比例的性質,綜合性較強,(3)中注意相似三角形的對應邊不明確,要分情況討論求解,避免漏解而導致出錯.
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(1)求此拋物線的解析式;
(2)設此拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于C 點,D是線段BC上一點(不與點B、C重合),若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似,求點D的坐標;
(3)點P在y軸上,點M在此拋物線上,若要使以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形,請你直接寫出點M的坐標.

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(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
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(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M,使△MBC中BC邊上的高為7
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(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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