Question

對(duì)某些正整數(shù)n，數(shù)2ⁿ和5ⁿ在十進(jìn)制表示下首位數(shù)字相同．那么所有這樣的首位數(shù)字為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先把2ⁿ范圍寫出a×10^k＜2ⁿ＜（a+1）×10^k，同理寫出a×10^l＜5ⁿ＜（a+1）×10^l，兩式相乘可得a²×10^k+l＜10ⁿ＜（a+1）²×10^k+l，進(jìn)一步求出a²＜10＜（a+1）²，于是求出a的值．
解答：解：a×10^k＜2ⁿ＜（a+1）×10^k，
a×10^l＜5ⁿ＜（a+1）×10^l，
將兩式相乘，得a²×10^k+l＜10ⁿ＜（a+1）²×10^k+l…①，
注意到a²大于等于1，而（a+1）²小于等于100，于是
10^k+l＜10ⁿ＜10^k+l+2，故n=k+1+1，從而①式變?yōu)?br />a²＜10＜（a+1）²，
解得a=3．
故答案為3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查整數(shù)問題的綜合運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是找到2ⁿ和5ⁿ取值范圍，此題有點(diǎn)難度．