Question

如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．

（1）求BC的長；

（2）求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理．

分析：

（1）首先連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長；

（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，繼而證得PB是⊙O的切線．

解答：

（1）解：連接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，

∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BC=OC=2；

（2）證明：∵OC=CP，BC=OC，

∴BC=CP，

∴∠CBP=∠CPB，

∵△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC=∠OCB=60°，

∴∠CBP=30°，

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，

∴OB⊥BP，

∵點(diǎn)B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切線．

點(diǎn)評：

此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．