Question

矩形ABCD中，E為AB中點、F為CD中點，G為CB延長線上一點，連接GE并延長交AC與點H，連接GF，求證：∠HFE=∠EFG．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：設(shè)AC、EF相交于點K，延長FH與DA的延長線相交于點M，延長GH與AD相交于點N，求出△AMH和△KFH相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AM

KF

=

AH

KH

，求出△ANH和△KEH相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AN

EK

=

AH

KH

，然后求出AM=AN，再利用“角邊角”證明△AEN和△BEG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=BG，然后求出DM=CG，再利用“邊角邊”證明△DFM和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠M=∠CGF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠HFE=∠M，∠EFG=∠CGF，再等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，設(shè)AC、EF相交于點K，延長FH與DA的延長線相交于點M，延長GH與AD相交于點N，
∵E為AB中點、F為CD中點，
∴EF∥AD，
∴△AMH∽△KFH，△ANH∽△KEH，
∴

AM

KF

=

AH

KH

，

AN

EK

=

AH

KH

，
∴

AM

KF

=

AN

EK

，
∵E為AB中點、F為CD中點，AC是對角線，
∴EK=FK，
∴AM=AN，
在△AEN和△BEG中，

∠NAE=∠GBE=90° AE=BE ∠AEN=∠BEG

，
∴△AEN≌△BEG（ASA），
∴AN=BG，
∴AM=BG，
∵DM=AD+AM，CG=BC+BG，
∴DM=CG，
在△DFM和△CFG中，

DM=CG ∠D=∠C=90° DF=CF

，
∴△DFM≌△CFG（SAS），
∴∠M=∠CGF，
∵EF∥AD∥BC，
∴∠HFE=∠M，∠EFG=∠CGF，
∴∠HFE=∠EFG．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出相似三角形和全等三角形．