點M是四邊形ABCD的邊BC的中點，∠AMD=120°．
求證：AB+數(shù)學(xué)公式+CD≥AD．

證明：如圖，作出點B關(guān)于AM的對稱點B′，點C關(guān)于MD的對稱點C′，連接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AB′=AB，BM=B′M，CM=C′M，C′D=CD，∠AMB=AMB′，∠DMC=∠DMC′，
∵∠AMD=120°，
∴AMB+∠DMC=180°-∠AMD=180°-120°=60°，
∴∠B′MC′=∠AMD-（∠AMB′+∠DMC′）=120°-60°=60°，
∵點M是四邊形ABCD的邊BC的中點，
∴BM=CM，
∴B′M=C′M，
∴△B′C′M是等邊三角形，
∴B′C′=BC，
所有，①當點B′、C′在AD上時，AB+BC+CD=AD，
②當點B′、C′不在AD上時，根據(jù)連接兩點的所有線中，線段最短，AB+BC+CD＞AD，
綜上，AB+BC+CD≥AD．
分析：根據(jù)對稱性，作出點B關(guān)于AM的對稱點B′，點C關(guān)于MD的對稱點C′，再連接AB′、B′C′、C′D、B′M、C′M，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及∠AMD=120°可以證明△B′C′M是等邊三角形，然后根據(jù)連接兩點的所有線中，線段最短證明．
點評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，兩點間線段最短的性質(zhì)，作出對稱點構(gòu)造出圖形更形象直觀，注意證明得到△B′C′M是等邊三角形非常關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上的一點，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）試說明：BE•AD=CD•AE；
（2）根據(jù)圖形的特點，猜想
BCDE
可能等于哪兩條線段的比？并說明你的猜想是正確的．（注：只需寫出圖中已知線段的一組比即可）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

25、定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內(nèi)心．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點P就是四邊形ABCD的準內(nèi)心．
（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點P．求證：點P是四邊形ABCD的準內(nèi)心．
（2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內(nèi)心．（作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)
   如圖（1）：若點A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：
   作點B關(guān)于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．

   如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為
3
3
．
 （2）實踐運用
   如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，
AC
的度數(shù)為60°，點B是
AC 
的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為
2
2
．

  （3）拓展延伸
如圖（4）：點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果四邊形一條對角線所在直線上有一點，它到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這個點為這個四邊形的準等距點．
（1）正方形ABCD的對角線AC上有沒有準等距點？請簡單說明理由；
（2）請回答長方形（正方形除外）、菱形、等腰梯形的準等距點的個數(shù)（不必證明）；
（3）如圖所示，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，證明點P是四邊形ABCD的準等距點．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點O是四邊形ABCD與A′B′C′D′的位似中心，則
 
=
 
=
 
；∠ABC=
 
，∠OC′B′=
 
．

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