Question

如圖，已知CA、CD是⊙O的兩條切線，A、D為切點(diǎn)，AB是⊙O的直徑．
（1）如圖1，OC交⊙O于N，若BN∥CD，求證：BN=CD；
（2）如圖2，BE∥CD交⊙O于E，若AB=AC=8，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，連接AD，利用切線的性質(zhì)及四點(diǎn)共圓的知識(shí)問題即可解決；
（2）如圖2，作輔助線，證明△CAG≌△ABE，得AE=CG；運(yùn)用切線的性質(zhì)及勾股定理即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，連接AD；
CA、CD是⊙O的兩條切線，
∴∠CAO+∠CDO=90°+90°=180°，
∴C、A、O、D四點(diǎn)共圓，
∴∠CAO=∠CDA；
又∵CD為⊙O的切線，
∴∠ABD=∠CDA，
∴∠COA=∠ABD，
∴CO∥BD；
又∵BN∥CD，
∴四邊形DCNB為平行四邊形，
∴BN=CD．
（2）如圖2，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)G，連接OD，交BE于點(diǎn)F；
∵AB⊙O的直徑，CD為⊙O的切線，
∴AE⊥BE，CD⊥OD；
又∵CD∥BE，
∴CD⊥AG，OD⊥BE；
∴四邊形EFDG為矩形，EF=DG；
∴OF∥AE，而OA=OB，
∴BF=EF；
∵∠C+∠CAG=∠CAG+∠EAB=90°，
∴∠C=∠EAB；
在△CAG與△ABE中，

∠C=∠EAB ∠CGA=∠AEB AC=AB

，
∴△CAG≌△ABE（AAS），
∴CG=AE（設(shè)為x），AG=BE；
∵CA、CD分別為⊙O的切線，
∴CA=CD=8，DG=8-x，
∴EF=DG=8-x；
∴BE=2EF=16-2x；
由勾股定理得：
8²=x²+（16-2x）²，
整理得：5x²-64x+192=0，
解得：x=

24

5

或8（舍去），
∴BE=16-2x=

32

5

，
即BE的長(zhǎng)為

32

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題在考查切線的性質(zhì)及其應(yīng)用的同時(shí)，還滲透了對(duì)四點(diǎn)共圓、平行線的判定、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的考查；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來解題是關(guān)鍵．