Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

1

2

x+1交x軸于點A，交y軸于點B．試在y軸上找一點P，使△AOP與△AOB相似，你能找出幾個這樣的點（點P與點B不重合）？分別求出對應AP的長度．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：

分析：先根據(jù)直線y=

1

2

x+1求出OA，OB的長，再根據(jù)兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似得到OP的長，進一步得到AP的長．

解答：解：∵當x=0時，y=1，
當y=0時，x=-2，
∴OA=2，OB=1，
∵∠AOB=∠AOP=90°，
∴當OA：OB=OP：OA時，△AOP與△AOB相似，
∴2：1=OP：2，
解得OP=4，
故有2個這樣的P點為：（0，-4）或（0，4），
AP=

OA2+OP2

=2

5

．
若△AOP≌△AOB，則AP=

5

．

點評：此題考查了相似三角形的判定：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．