Question

如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)， BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；

 (1)延長MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)。j 求證：△BPM@△CPE；k 求證：PM = PN；

 (2) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變。此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

 (3) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變。請直接判斷四邊形MBCN

 的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎？不必說明理由。

 

Answer 1

 

(1)略

(2)成立

(3)成立

解析:

(1) [證明] j 如圖2，∵BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，

             ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

             又∵P為BC邊中點(diǎn)，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

          k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，

             ∴PM=PN；

(2) 成立，如圖3，

     [證明] 延長MP與NC的延長線相交于點(diǎn)E，∵BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，

           ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

           又∵P為BC中點(diǎn)，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，∴PM=PE，

           ∴PM=ME，則在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN。

  (3) 四邊形MBCN是矩形，PM=PN成立。