Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，E是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF．
（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在AD上取一點(diǎn)G，使∠GCE=45°，試判斷BE、EG、GD三條線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（3）若連接圖①中的BD，分別交CE、CG于點(diǎn)M、N，得圖②，試根據(jù)（2）中的結(jié)論說(shuō)明以線(xiàn)段BM、MN、DN為三邊構(gòu)成的是一個(gè)什么形狀的三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：在正方形ABCD中，

∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF

（2）

解：EG=BE+GD

理由：由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°，

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE=GF

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD

（3）

解：如圖，

在GE上取一點(diǎn)H，使GH=GD，

∵△GCE≌△GCF，

∴∠DGN=∠HGN，∠F=∠GEC，

∵GN=GN，

∴△DGN≌△HGN，

∴DN=HN，

∴∠GDN=∠GHN=45°，

∵GE=GF，GD=GH，BE=DF，

∴DF=BE=EH，

∵∠F=∠GEC=∠BEC，∠EM=EM，

∴△BEM≌△HEM，

∴BM=HM，∠EBM=∠EHM=45°，

∴∠NHM=90°

∴線(xiàn)段BM、MN、DN為三邊構(gòu)成的是一個(gè)直角三角形

【解析】（1）由條件直接證明三角形全等就可以得出CE=CF．（2）由條件和（1）的結(jié)論可以證明三角形ECG全等三角形FCG，可以得出EG=FG，可以得出GE=BE+GD．（3）先判斷出△DGN≌△HGN得到結(jié)論，再判斷出△BEM≌△HEM，最后簡(jiǎn)單計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及對(duì)正方形的性質(zhì)的理解，了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．