【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過點A(﹣2,0),點B(﹣3,3)及原點O,頂點為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的BC段上,是否存在一點G,使得△GBC的面積最大?若存在,求出這個最大值及此時點G的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)P是拋物線的第一象限內(nèi)的動點,過點P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點P,使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(4)若點D在拋物線上,點E在拋物線的對稱軸上,且以A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形,請直接寫出點D的坐標(biāo).
【答案】(1)∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x;
(2)當(dāng)x=﹣2時,S△GBC=1最大,此時,G(﹣2,0);
(3)符合條件的點P有兩個,分別是P1(, ),P2(3,15)
(4)D1(1,3),D2(﹣3,3);D3(﹣1,﹣1).
【解析】試題分析:(1)由于拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點O,待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)存在一點G,使得△GBC的面積最大,過G作GH垂直y軸交BC于點H,設(shè)G(x1,x2+2x),求出直線BC的解析式,表示出點H的坐標(biāo),用x表示出GH的長,構(gòu)建 出以GH和△GBC的面積為變量的二次函數(shù)模型,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;(3)分兩種情況討論,①△AMP∽△BOC,②PMA∽△BOC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等可以求出點P的坐標(biāo)。(4)分OA為平行四邊形的一邊和對角線兩種情況,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,可以求出點D的坐標(biāo).
試題解析:
(1)∴拋物線的解析式為y=(x﹣2)x=x2﹣2x;
(2)存在一點G,使得△GBC的面積最大,理由如下:
理由:過G作GH垂直y軸交BC于點H,設(shè)G(x1,x2+2x),設(shè)過直線BC的解析式為y=kx+b,∵y=(x﹣2)x=x2﹣2x=(x+1)2﹣1,∴頂點C(﹣1,﹣1),
又∵B(﹣3,﹣3),∴,∴,∴y=﹣2x﹣3,∴可設(shè)點H(x,﹣2x﹣3)∴S△GBC=(﹣2x﹣3﹣x2﹣2x)(﹣1+3)=﹣x2﹣4x﹣3=﹣(x+2)2+1
∵a=﹣1<0,對稱軸為x=﹣2,∴當(dāng)x=﹣2時,S△GBC=1最大,此時,G(﹣2,0);
(3)存在,∵點B在拋物線上,∴當(dāng)x=﹣3時,y=9﹣6=3,∴B(﹣3,3),
根據(jù)勾股定理得:BO2=9+9=18;CO2=1+1=2;BC2=16+4=20,∴BO2+CO2=18+2=20,∴BO2+CO2=BC2,∴△BOC為直角三角形,假設(shè)存在點P,使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似,如圖2,設(shè)P(m,n),由題意得m>0,n>0,且n=m2+2m,
①若△AMP∽△BOC,則,即,整理得:m+2=3(m2+2m)=0,即3m2+5m﹣2=0,解得:m1=,m2=﹣2(舍去),m1=時,n=+=,∴P(,);
②若△AMP∽△COB,則,即,整理得:m2﹣m﹣6=0,
解得 m1=3,m2=﹣2(舍去),當(dāng)m=3時,n=9+6=15,∴P(3,15),
綜上所述,符合條件的點P有兩個,分別是P1(,),P2(3,15);
(4)如圖3所示,分三種情況考慮:
當(dāng)D1在第一象限時,若四邊形AOD1E1為平行四邊形,
∴AO=E1D1=2,
∵拋物線對稱軸為直線x=﹣1,
∴D1橫坐標(biāo)為1,
將x=1代入拋物線y=x2+2x=1+2=3,即D1(1,3);
當(dāng)D2在第二象限時,同理D2(﹣3,3);
當(dāng)D3在第三象限時,若四邊形AE2OD3為平行四邊形,此時D3與C重合,即D3(﹣1,﹣1).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在第49屆世界乒乓球錦標(biāo)賽中,男子單打決賽在我國選手馬琳和王勵勤之間展開,雙方苦戰(zhàn)七局,最終王勵勤以4︰3獲得勝利,七局比分如下表:
(1)請將七局比分的相關(guān)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果,直接填入下表中(結(jié)果精確到0.1).
(2)中央電視臺在此次現(xiàn)場直播時,開展了“短信互動,有獎況猜”活動,凡是參與短信互動且預(yù)測結(jié)果正確的觀眾,都能參加“乒乓大禮包”的投資活動,據(jù)不完全統(tǒng)計,約有32000名觀眾參與了此次短信互動活動,其中有50%的觀眾預(yù)測王勵勤獲勝.陳明同學(xué)參加了本次“短信互動”活動,并預(yù)測了王勵勤獲勝,如果從中抽取80名幸運觀眾,贈送“乒乓大禮包”一份,那么陳明同學(xué)中獎的概率有多大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國第一艘航母“遼寧艦”最大排水量為67500噸,用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)字是( 。
A.6.75×103噸
B.67.5×103噸
C.6.75×104噸
D.6.75×105噸
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙、丙均為x的一次多項式,且其一次項的系數(shù)皆為正整數(shù).若甲與乙相乘為x2﹣4,乙與丙相乘為x2+15x﹣34,則甲與丙相加的結(jié)果與下列哪一個式子相同?( 。
A.2x+19
B.2x﹣19
C.2x+15
D.2x﹣15
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】湘潭盤龍大觀園開園啦!其中杜鵑園的門票售價為:成人票每張50元,兒童票每張30元.如果某日杜鵑園售出門票100張,門票收入共4000元.那么當(dāng)日售出成人票 張.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列運算正確的是:( 。
A. (a﹣b)2=a2﹣b2B. a10÷a2=a5
C. (2a2b3)3=8a6b9D. 2a23a3=6a6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大獎賽評分規(guī)則:去掉7位評委評分中的一個最高分和一個最低分,其平均分為選手的最后得分.下表是7位評委給某位選手的評分(單位:分)情況:
評委 | 1號 | 2號 | 3號 | 4號 | 5號 | 6號 | 7號 |
評分 | 9.3 | 9.4 | 9.8 | 9.6 | 9.2 | 9.7 | 9.5 |
則這位選手的最后得分是( )
A. 9.4分 B. 9.5分 C. 9.6分 D. 9.7分
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾何體的三視圖相互關(guān)聯(lián).已知直三棱柱的三視圖如圖,在△PMN中,∠MPN=90°,PN=4,sin∠PMN= .
(1)求BC及FG的長;
(2)若主視圖與左視圖兩矩形相似,求AB的長;
(3)在(2)的情況下,求直三棱柱的表面積.
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