Question

如圖1，直線y=-x+4交x軸、y軸于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，S_△AOC=

16

5

，CA的延長(zhǎng)線交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于E，且CA=4AE．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值；
（2）如圖2，正方形OMKN的頂點(diǎn)M、N分別在雙曲線及線段BC上，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征可知C（0，4），根據(jù)三角形面積公式可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；連結(jié)OE，作EM⊥x軸于M，根據(jù)等高的三角形面積比等于底之比，根據(jù)等底的三角形面積比等于高之比可得

EM

OC

=

1

4

，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AM=

2

5

，進(jìn)一步得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，待定系數(shù)法可求k的值；
（2）作ME⊥x軸于E，作NF⊥y軸于F．根據(jù)AAS可證△OME≌△ONF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NF=ME，OF=OE．設(shè)N（a，-a+4），表示出M（-a+4，-a），代入反比例函數(shù)可得關(guān)于a的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）∵直線y=-x+4交y軸于點(diǎn)C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵S_△AOC=

16

5

，
∴OA=

16

5

×2÷4=

8

5

，
∴A（

8

5

，0），
連結(jié)OE．
∵

EA

CA

=

1

4

，
∴

S△OAE

S△OAC

=

1

4

，
作EM⊥x軸于M，
∴

EM

OC

=

1

4

，
∴EM=1，得AM=

2

5

，
OM=

8

5

+

2

5

=2，
∴E（2，-1），
∴k=-2；

（2）作ME⊥x軸于E，作NF⊥y軸于F．
∵∠FON+∠NOE=∠NOE+∠MOE，
∴∠FON=∠MOE，
在△OME與△ONF中，

∠OFN=∠OEM=90° ∠FON=∠MOE ON=OM

∴△OME≌△ONF（AAS），
∴NF=ME，OF=OE．
設(shè)N（a，-a+4），
∴FN=a=ME，OF=-a+4=OE，
∴M（-a+4，-a），
∴（-a+4）（-a）=-2，解得：a₁=2+

2

，a₂=2-

2

，
∴M（2-

2

，2+

2

），N（-2-

2

，2-

2

）或M（2+

2

，-2+

2

），N（2-

2

，2+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征，三角形面積公式，等高的三角形面積比等于底之比，等底的三角形面積比等于高之比，相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；全等三角形的判定和性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用．