Question

（1）如圖1，△ADE為等邊三角形，AD∥EB，且EB=DC，求證：△ABC為等邊三角形．
（2）相信你一定能從（1）中得到啟示并在圖2中作一個等邊△ABC，使三角形的三個定點A、B、C分別在直線l₁、l₂、l₃上，（l₁∥l₂∥l₃且這三條平行線兩兩之間的距離不相等）．請你畫出圖形，并寫出簡要作法．
（3）①如圖3，當所作△ABC的三個定點A、B、C分別在直線l₂、l₃、l₁上時，如圖所示，請結(jié)合圖形填空：
a：先作等邊△ADE，延長DE交l₃于B點，在l₁上截取EC=

 

，連AC、BC，則△ABC即為所求．
b：證明△ABC為等邊三角形時，可先證明

 

≌

 

從而為證明等邊三角形創(chuàng)造條件．
②若使等邊△ABC的三個定點A、B、C分別在直線l₃、l₁、l₂上時，請在圖4中用類似的方法作出圖形，并將構造的全等三角形用陰影標出．（只需畫出圖形，不要求寫作法及證明過程）

Answer 1

考點：等邊三角形的判定與性質(zhì),平行線之間的距離,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由△ADE為等邊三角形，得出AE=AD，∠DAE=60°，由AD∥EB，得出∠DAE=∠ABE，且EB=DC，證得△ABE≌△ACD，得出∠DAC=∠EAB，AB=AC進一步推出結(jié)論；
（2）作法如下：
①l₁、l₂、l₃三條平行線間距離不等，不仿設l₂、l₃間距離大點．②在l1、l₃的正中間做一條直線d與它們平行．③作一條垂線分別交l₁、l₃于A、M，以AM為邊作正三角形AMG，第三個頂點G就在d上．過G作CG垂直AG交直線l₂于C，連AC．在直線l₃上AM的左測截取BM等于CG，連AB、BC．則三角形ABC就是所要求作的正三角形；
（3）①結(jié)合（1）的證明直接填空即可；②利用①所給的畫法做出圖形．

解答：（1）證明：∵△ADE為等邊三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∵AD∥EB，
∴∠DAE=∠AEB，
又∵EB=DC，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠DAC=∠EAB，AB=AC，
∵∠DAE=∠DAC-∠CAE=∠EAB-∠CAE=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形．

（2）解：作圖如下：


（3）解：作圖如下：

點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識點，并且滲透類比思想．