Question

已知：三角形紙片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是邊AC上一點(diǎn)，將三角形紙片折疊，使點(diǎn)B與B′重合，折痕與BC、AB分別相交于E、F
（1）求∠B的大小；
（2）設(shè)BE=x，B′C=y，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）當(dāng)△AFB′是直角三角形時(shí)，求出x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系求得∠B=60°．
（2）由題意得：B′E=BE=x，CE=6-x，由勾股定理得到y=

12x-36

，3≤x≤6．
（3）按照分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，分∠AFB′=90°、∠AB′F=90°兩種情況來(lái)解析；借助（2）中得到的函數(shù)關(guān)系式即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AB=12，BC=6，
∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°．
（2）由題意得：B′E=BE=x，CE=6-x，
由勾股定理得：y²+（6-x）²=x²，
∴y²=12x-36，
∴y=

12x-36

，3≤x≤6．
（3）當(dāng)△AFB′是直角三角形時(shí)，
若∠AFB′=90°，
則∠AB′F=90°-30°=60°，
∠FB′E=∠B=60°，
∴∠EB′C=180°-120°=60°，
∴∠B′EC=30°，EB′=2B′C，
即x=2y，2

12x-36

=x，
解得：x=24-12

3

或24+12

3

（舍去）．
若∠AB′F=90°，則∠EB′C=180°-90°-60°=30°，
此時(shí)，B′E=2CE，
即x=2（6-x），解得：x=4．
∴當(dāng)△AFB′是直角三角形時(shí)，x的值等于24-12

3

或4．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．