Question

編號為1、2、3、4、…、2013的2013只彩燈均亮著，每只燈各有一個開關(guān)控制．若第一次按一下所有編號是2的倍數(shù)的燈泡開關(guān)，第二次按一下編號為3的倍數(shù)的燈泡開關(guān)，第三次按一下編號為5的倍數(shù)的燈泡開關(guān)，則最后還亮著的燈有

1006

只．

Answer 1

分析：由于有2013盞亮著的彩燈，現(xiàn)按其順序編號為l，2，…，2013，那么編號為2的倍數(shù)的燈有[（2013-1）÷2]只，編號為3的倍數(shù)的燈有（2013÷3）只，編號為5的倍數(shù)的燈的有[（2013-3）÷5]只，然后列出6，15，10，30的倍數(shù)的個數(shù)，然后利用容斥關(guān)系即可解決問題．

解答：解：∵有2013盞亮著的彩燈，現(xiàn)按其順序編號為l，2，…，2013，
∴編號為2的倍數(shù)的燈有 （2013-1）÷2=1006只，
編號為3的倍數(shù)的燈有 2013÷3=671只，
編號為5的倍數(shù)的燈的有（2013-3）÷5=402只，
其中既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)有（2013-3）÷15=134，
既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)有（2013-3）÷6=335，
既是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)有（2013-3）÷10=201，
既是2的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，還是3的倍數(shù)有（2013-3）÷30=67，
根據(jù)容斥關(guān)系1006-335-201=470，671-335-134=202，402-201-134=67，
∴最后還亮著的燈有：2013-470-202-67-4×67=1006只．
故答案為：1006．

點(diǎn)評：此題主要考查了整數(shù)的整除性問題，解題時根據(jù)數(shù)的整除性首先分別求出2、3、5的倍數(shù)的個數(shù)，然后列出6，15，10，30的倍數(shù)的個數(shù)，然后利用容斥關(guān)系即可解決問題．