Question

（2009•花都區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=x²-（2k+4）x+k²-4，且此函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．
（1）求k的取值范圍；
（2）若線段AB的長(zhǎng)度為4，求此函數(shù)的關(guān)系式；
（3）如圖，若（2）中的函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為該拋物線上位于y軸右邊的點(diǎn)，且∠PCO為銳角，試比較∠ACO與∠PCO的大小（不必證明），并寫出相應(yīng)的點(diǎn)P橫坐標(biāo)x_p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)y=0時(shí)，得出的關(guān)于x的二元一次方程就應(yīng)該有兩個(gè)解，即△=（2k+4）²-4×（k₂-4）＞0，由此可得出k的取值范圍．
（2）A，B的長(zhǎng)度為4，也就是（1）中得出的方程的兩個(gè)根的差的絕對(duì)值為4．那么可根據(jù)|AB|2=16，得出兩根的差的平方為16，然后將完全平方差公式轉(zhuǎn)換成完全平方和公式，從而可求出k值．進(jìn)而可得出函數(shù)的關(guān)系式．
（3）可先作一個(gè)和∠ACO相等的角，然后以此角為參照進(jìn)行比較．作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A’
作射線CA’，則∠ACO=∠A’CO，故求得直線CA’與拋物線的交點(diǎn)為P，此時(shí)x_p=5，∠ACO=∠PCO，則當(dāng)x_p＞5時(shí)，∠ACO＞∠PCO；又∠PCO為銳角，作CC’平行x軸，則∠C’CO為直角，且C’為點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，故其坐標(biāo)為C’（2，-3），所以當(dāng)2＜x_p＜5時(shí)，∠ACO＜∠PCO．當(dāng)x_p＞5時(shí)，∠ACO＞∠PCO．當(dāng)x_p=5時(shí)，∠ACO=∠PCO．
解答：解：
（1）令y=0，則x²-（2k+4）x+k²-4=0
因函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
故此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴（2k+4）²-4（k₂-4）＞0
∴k＞-2；

（2）設(shè)方程x²-（2k+4）x+k²-4=0的兩根為x₁和x₂，
則x₁+x₂=2k+4，x₁•x₂=k²-4
∵AB=4，
故|x₁-x₂|=4
∴（x₁-x₂）²=16
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16
∴（2k+4）²-4（k²-4）=16
解得：k=-1
由（1）得k＞-2，故k=-1符合題意．
∴函數(shù)關(guān)系式為y=x²-2x-3；

（3）當(dāng)x_p＞5時(shí)，∠ACO＞∠PCO；
當(dāng)x_p=5時(shí)，∠ACO=∠PCO；
當(dāng)2＜x_p＜5時(shí)，∠ACO＜∠PCO．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．