Question

已知關于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整數(shù)，求整數(shù)k的值．

Answer 1

分析：分兩種情況：①如果k²-1=0，則為一元一次方程，分別求出方程的根；②如果k²-1≠0，則為一元二次方程，根據(jù)方程有實數(shù)根，得出判別式△≥0，再利用方程兩根分別為x₁，x₂，由韋達定理，得出k的取值范圍，即可得出答案．

解答：解：分兩種情況：
①如果k²-1=0，那么k=±1．
當k=1時，原方程即為-12x+72=0，x=6，解是正整數(shù)，符合題意；
當k=-1時，原方程即為24x+72=0，x=-3，解不是正整數(shù)，不符合題意；
②如果k²-1≠0，那么原方程為一元二次方程．
∵關于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整數(shù)，
∴方程有實數(shù)根，判別式△≥0，
[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72≥0，
整理，得：k²-6k+9≥0，
（k-3）²≥0．
設方程兩根分別為x₁，x₂，由韋達定理，得
x₁+x₂=

6(3k-1)

k2-1

＞0，
解得k＞1或-1＜k＜

1

3

，
x₁x₂=

72

k2-1

＞0，
k＞1或k＜-1．
綜上，得k＞1，
∵

72

k2-1

為整數(shù)，∴k²-1可以為1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，
∵k為整數(shù)，∴k²-1可以為3，8，24，
∵

6(3k-1)

k2-1

為整數(shù)，
∴k=2，3．
，綜上，可知整數(shù)k的值1，2，3．

點評：此題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根據(jù)題意利用根與系數(shù)的關系以及根的判別式得出是解決問題的關鍵．