Question

如圖，在直角坐標系xOy中，點A的坐標為（12，-8），點B、C在x軸上，tan∠ABC=，AB=AC，AH⊥BC于H，D為AC邊上一點，BD交AH于點M，且△ADM與△BHM的面積相等．
（1）求點D坐標；
（2）求過B、C、D三點的拋物線的解析式，并求出拋物線頂點E的坐標；
（3）過點E且平行于AB的直線l交y軸于點G，若將（2）中的拋物線沿直線l平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為E′（點E′在y軸右側）．是否存在這樣的拋物線，使△E′FG為等腰三角形？若存在，請求出此時頂點E′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵S_△ADM=S_△BHM，∴S_△ACH=S_△BCD，
∵AB=AC，AH⊥BC，∴H是BC中點，∴D是AC中點．
∵AH=8，tan∠ABC=，∴BH=CH=6，
∵A的坐標為（12，-8），∴B、C坐標分別為（18，0）、（6，0）．
∴D的坐標為（9，-4）．

（2）設經過B、C、D三點的拋物線的解析式為y=a（x-6）（x-18），
∵拋物線過D點，∴-4=a（9-6）（9-18），∴a=．
∴拋物線的解析式為y=（x-6）（x-18），頂點E的坐標為（12，-）．

（3）設直線l的解析式為y=x+b，∵直線過點E，∴b=-，
∴G的坐標為（0，-）．
∴設平移后的拋物線的解析式為y=（x-m）²+m-
∴F的坐標為（0，m²+m-），E′的坐標為（m，m-），
若E′G=E′F，則m²+m-+=2×m，
∴m=0（舍去），m=9，此時E′的坐標為（9，-）．
若E′G=GF，則m=m²+m-+
∴m=0（舍去），m=，此時E′的坐標為（，-）．
若E′F=GF，不存在．
綜上所述E′點的坐標為（9，-）或（，-）．
分析：（1）要求點D的坐標，可以先確定點D的位置，由△ADM、△BHM的面積相等，它們加上一個公共三角形△AMB后，可得出△ADB、△AHB的面積相等，顯然D、H兩點到直線AB的距離相等，即DH∥AB，而H是BC的中點，那么點D應該是AC的中點，所以只要求出點C的坐標即可確定點D的坐標．首先由點A坐標能得到AH的長，在Rt△AHB中，已知AH的長以及∠ABH的正切值，通過解直角三角形即可求出BH的長，根據等腰三角形的性質易知BH=HC，在得出OH（點A橫坐標的絕對值）、CH的長后，即可確定點C的坐標，由此得解．
（2）利用待定系數法能求出拋物線的解析式，由配方法或公式法能求出頂點E的坐標．
（3）首先表達出平移后的函數解析式，能得到點E′、G的坐標；再由直線l與AB平行，求出直線l的解析式（兩條直線平行，則它們的斜率相同），能得到點F的坐標；若△E′FG為等腰三角形，需要考慮到三種情況：
①E′F=E′G；此時E′在線段FG的中垂線上，那么點E′縱坐標應該是點F、G兩點縱坐標和的一半，據此求解；
②E′G=FG；FG可由兩點縱坐標差的絕對值求得，而E′G可由點E橫坐標以及∠OGB的正弦值求得，列出等式后即可確定點E′的坐標；
③E′F=FG；這種情況下，點F必在E′下方，顯然這種情況不符合拋物線圖象的特點，因此這種情況不予考慮．
點評：此題主要考查了等腰三角形的性質、圖形面積的解法、函數解析式的確定以及等腰三角形的判定和性質等重要知識；最后一題中，在等腰三角形的腰和底不確定的情況下，要分類討論．