Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，CA，DB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，E為上⊙O的一點(diǎn)，連接CE并延長交BD于點(diǎn)D，連接OC，BE，OC∥BE．若AB=3，AC=1，BD=

9

4

（1）求OC與OD的長分別是多少？
（2）求證：CD是⊙O切線；
（3）求證：△COD是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）CA，DB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，得出△CAO和△BOD為直角三角形，利用勾股定理求得OC與OD的長；
（2）連接OE，結(jié)合OC∥BE，找出條件證得△CAO≌△CEO，就可以得出結(jié)論；
（3）由（2）CD是⊙O切線，利用切線長定理得出CD的長，利用勾股定理的逆定理求證結(jié)論成立．

解答：（1）解：∵CA，DB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，
∴∠CAO=∠BOD=90°，
∴△CAO和△BOD為直角三角形；
又OA=OB=

1

2

AB=

3

2

，
則OC=

OA2+AC2

=

( 3 2 )2+12

=

13

2

；
OD=

OB2+BD2

=

( 3 2 )2+( 9 4 )2

=

3 13

4

；

（2）證明：
如圖，

連接OE，則OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵OC∥BE，
∴∠OBE=∠AOC，∠OEB=∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC，
又∵OA=OE，OC=OC，
∴△CAO≌△CEO，
∴∠OEC=∠OAC=90°，
∴CD是⊙O切線；

（3）證明：
∵CA，DB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B；CD是⊙O切線；
∴CE=CA=1，DE=DB=

9

4

，
∴CD=CE+DE=

13

4

；
∵OC²=

13

4

，OD²=

117

16

，CD²=

169

16

，
OC²+OD²=CD²，
∴△COD是直角三角形．

點(diǎn)評：此題考查切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理以及勾股定理逆定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．