Question

22、已知方程x²+bx+c=0及x²+cx+b=0分別各有兩個整數(shù)根且兩根均同號，求證：b-1≤c≤b+1．

Answer 1

分析：通過根與系數(shù)的關(guān)系，利用反證法推出x₁＜0，x₂＜0；將b-1≤c≤b+1轉(zhuǎn)化為c-（b-1）≥0和b≤c-1的問題即可．

解答：證明：設(shè)x₁，x₂，x₁′，x₂′，分別是兩個方程的根，
先證x₁＜0，x₂＜0，
假設(shè)不成立，由x₁＞0，x₁x₂＞0知x₂＞0，而x₁+x₂=-b=-x₁′x₂′，與x₁′x₂′＞0矛盾，
故x₁＜0，x₂＜0；
又由于c-（b-1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=（x₁+1）（x₂+1）≥0，
∴c≥b-1，
由方程x²+cx+b=0，討論可得b≤c-1，
∴b-1≤c≤b+1．

點評：此題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、反證法等知識，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為兩根之積與兩根之和的問題即可．