Question

如圖：⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并與兩坐標(biāo)軸交于A、D兩點(diǎn)，CE⊥OA垂足為點(diǎn)E，交⊙C于點(diǎn)F，∠OBA=30°，點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（2，0）
（1）求∠OCF的度數(shù)
（2）求點(diǎn)D和圓心C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)垂徑定理得出弧OF=弧AF，根據(jù)圓周角定理求出∠OCF=∠OBA即可；
（2）過(guò)C作CM⊥OD于M，根據(jù)垂徑定理求出OE，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出CE即可；得出矩形CMOE求出OM，根據(jù)垂徑定理求出OD=2OM，代入求出即可．
解答：（1）解：∵CF⊥OA，CF過(guò)圓心C，
∴弧OF=弧AF，
∴弧OA=2弧OF，
∴∠OCF=∠OBA=30°．

（2）解：在Rt△OCE中，OE=OA=1，
∵∠OCF=30°，
∴OC=2，
由勾股定理得：CF=，
∴C（1，）；
過(guò)C作CM⊥OD于M，
∵∠CMO=∠DOA=∠CEO=90°，
∴四邊形MCEO是矩形，
∴MO=CE=，
由垂徑定理得：OD=2OM=2，
∴D的坐標(biāo)是（0，2）．
答：點(diǎn)D和圓心C的坐標(biāo)分別是（0，2），（1，）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了勾股定理，點(diǎn)的坐標(biāo)，含30度角的直角三角形，圓周角定理，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，熟練的運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度也不大．