Question

如圖：第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在一反比例函數(shù)圖象上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B點(diǎn)，連接AO，已知△AOB的面積為4．①求反比例函數(shù)的解析式；②若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，過點(diǎn)A的直線與x軸相交于點(diǎn)P，且△APB與△AOB相似，求所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；③在②的條件下，求過P、O、A的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求反比例函數(shù)的解析式實(shí)質(zhì)求Y=中K值，因?yàn)椤鰽OB的面積為4，所以K=8；
（2）△APB與△AOB相似，可能全等，也可能相似，所以有三個(gè)點(diǎn)滿足條件；
（3）欲求過P、O、A的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求其解析式，知道P、O、A三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法易求，即解．
解答：解：①設(shè)A（x_A，y_A）
∵
∵X_A＞0，Y_A＞0
∴x_Ay_A=8
設(shè)
∴x_Ay_A=k
∴k=8．
∴設(shè)比例函數(shù)解析式為．（2分）

②∵y_A=4，
∴x_A=2
∴A（2，4）
∴OB=2，AB=4
當(dāng)∠AP₁B=∠AOB時(shí)，△AOB≌△APB
∴PB=OB=2，∴P₁（4，0）（3分）
當(dāng)∠AP₂B=∠OAB時(shí)△AOB∽△P₂AB
可以由∴BP₂=8，∴P₂（10，0）．（4分）
當(dāng)P₃在x軸負(fù)半軸上時(shí)，
且P₃與P₂關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱也滿足△AOB∽△P₃BA
由P₂（10，0），B（2，0），
∴P₃（-6，0）．（5分）

③當(dāng)拋物線經(jīng)過P₁（4，0），O（0，0），A（2，4）時(shí)
設(shè)解析式為y=ax²+bx+c
解
∴解析式為y=-x²+4x
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4）（6分）
當(dāng)拋物線經(jīng)過P₂（10，0），O（0，0），A（2，4）時(shí)
設(shè)所求拋物線為y=a₂x²+b₂x
則
∴
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（5，）．（8分）
設(shè)經(jīng)過P₃（-6，0），O（0，0），A（2，4）的解析式為：y=a₃x²+b₃x
則∴
∴拋物線的解析式是
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，）（10分）．
點(diǎn)評(píng)：此題難度中等，考查反比例、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及兩三角形相似等知識(shí)點(diǎn)．