Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠BAC=2∠B，AC=6，過點A作⊙O的切線與OC的延長線交于點P．
（Ⅰ）求證：△OAC是等邊三角形；
（Ⅱ）求PA的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
又∵∠BAC=2∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，∠BAC=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等邊三角形；

（2）解：∵過點A作⊙O的切線與OC的延長線交于點P，
∴∠OAP=90°，
∵△OAC是等邊三角形，AC=6，
∴∠AOP=60°，OA=6，
∴tan60°=，
∴PA=AOsin60°=6．
分析：（1）利用圓周角定理的推論得出∠BCA=90°，進(jìn)而利用∠BAC=2∠B，得出∠BAC=60°，再利用等邊三角形的判定得出；
（2）根據(jù)（1）中所求的出∠AOP=60°，OA=6，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PA的長．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出∠BAC=60°是解題關(guān)鍵．