在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC平分∠DAB.

(1)如圖①,當(dāng)∠DAB=120°,∠B=∠D=90°時(shí),求證:AB+AD=AC.

(2)如圖②,當(dāng)∠DAB=120°,∠B與∠D互補(bǔ)時(shí),線段AB、AD、AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,并給予證明.

(3)如圖③,當(dāng)∠DAB=90°,∠B與∠D互補(bǔ)時(shí),線段AB、AD、AC還有上面的數(shù)量關(guān)系嗎?說(shuō)明理由。


解:(1)在四邊形ABCD中,∵AC平分∠DAB,∠DAB=120°,

∴∠CAB=∠CAD=60°.又∵∠B=∠D=90°,

∴∠ACB=∠ACD=30°.,即AB+AD=AC.

(2)AB+AD=AC.

證明如下:如圖①,過(guò)C點(diǎn)分別作AD和AB延長(zhǎng)線的垂線段,垂足分別為E、F.

∵AC平分∠DAB,

∴CE=CF.

∵∠ABC+∠D=180°,

∠ABC+∠CBF=180°,

∴∠CBF=∠D.

又∵∠CED=∠CFB=90°,

∴△CED≌△CFB.∴ED=BF.

∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF.

由(1)知AE+AF=AC.

∴AB+AD=AC.

第26題答圖①

第26題答圖②

(3)AB+AD=AC.

證明如下:如圖②,過(guò)C點(diǎn)分別作AB和AD延長(zhǎng)線的垂線段,垂足分別是E、F.

∵AC平分∠DAB,∴CE=CF.

∵∠ABC+∠ADC=180°,

∠ADC+∠FDC=180°,

∴∠ABC=∠FDC.

又∵∠CEB=∠CFD=90°.

∴△CEB≌△CFD.∴CB=CD.

延長(zhǎng)AB至G,使BG=AD,連結(jié)CG.

∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBG=180°,

∴∠CBG=∠ADC.∴△GBC≌△ADC.

∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°.∴∠ACG=90°.

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