Question

（1）已知，如圖△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°．請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形．（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來，只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數(shù)）

（2）已知：在△ABC中，∠C是其最小的內(nèi)角，過點B的一條直線BD把這個三角形分割成兩個等腰三角形，直線BD交AC邊于點D．
①若∠C是△BCD的頂角，請?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系；
②若∠C是△BCD的底角，∠BDC是△BCD的頂角．請?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系；
③是否存在∠C是底角且∠CBD是頂角的等腰△BCD？若存在，請?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）設(shè)∠ABC=y，∠C=x，過點B的直線交邊AC于D．在△DBC中，
①若∠C是頂角，如圖1，則∠ADB＜90°，∠CBD=∠C=（180°-x）=90°-x，∠A=180°-x-y．
此時只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-（90°-x），
∴3x+4y=540°，即∠ABC=135°-∠C．

②若∠C是底角，
第一種情況：如圖2，當DB=DC時，則∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
由AB=AD，得2x=y-x，此時有y=3x，即∠ABC=3∠C．
由AB=BD，得180°-x-y=2x，此時3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C．
由AD=BD，得180°-x-y=y-x，此時y=90°，即∠ABC=90°，∠C為小于45°的任意銳角．
第二種情況，如圖3，當BD=BC時，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°，此時只能有AD=BD，
從而∠A=∠ABD=∠C＜∠C，這與題設(shè)∠C是最小角矛盾．
∴當∠C是底角時，BD=BC不成立．
綜上，∠ABC與∠C之間的關(guān)系是：∠ABC=135°-∠C．
或∠ABC=3∠C．

③由BD=BC時，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°，
此時只能有AD=BD，
從而∠A=∠ABD=∠C＜∠C，這與題設(shè)∠C是最小角矛盾．
分析：（1）已知角度，要分割成兩個等腰三角形，可以運用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，先計算出可能的角度，或者先從草圖中確認可能的情況，及角度，然后畫上．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成兩個等腰三角形的各種情形列方程，可得出角與角之間的關(guān)系．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；第（1）問是計算與作圖相結(jié)合的探索．本問對學生運用作圖工具的能力，以及運用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)等基礎(chǔ)知識解決問題的能力都有較高的要求．
第（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，“分類討論”把直角三角形分成兩個等腰三角形的各種情形并結(jié)合“方程思想”探究角與角之間的關(guān)系．本題不僅趣味性強，創(chuàng)造性強，而且滲透了由“特殊”到“一般”、“分類討論”、“方程思想”、“轉(zhuǎn)化思想”等數(shù)學思想，是一道不可多得的好題．由