Question

如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（40，0）和（0，30），動點P從點A開始在線段AO上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動、動直線EF從x軸開始以每1個單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點E、F，連接EP、FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．
（1）求t=15時，△PEF的面積；
（2）直線EF、點P在運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160（平方單位）？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（3）當t為何值時，△EOP與△BOA相似．

Answer 1

解：（1）∵EF∥OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，
∴
當t=15時，OE=BE=15，OA=40，OB=30，
∴
∴S_△PEF=EF•OE=（平方單位）

（2）∵△BEF∽△BOA，
∴
∴
整理，得t²-30t+240=0
∵△=30²-4×1×240=-60＜0，∴方程沒有實數(shù)根．
∴不存在使得△PEF的面積等于160（平方單位）的t值

（3）當∠EPO=∠BAO時，△EOP∽△BOA
∴，即
解得，t=12
當∠EPO=∠ABO時，△EOP∽△AOB
∴，即
解得，
∴當t=12或時，△EOP∽△BOA
分析：（1）由于EF∥x軸，則S_△PEF=EF•OE．t=15時，OE=15，關(guān)鍵是求EF．易證△BEF∽△BOA，則，從而求出EF的長度，得出△PEF的面積；
（2）假設(shè)存在這樣的t，使得△PEF的面積等于160，則根據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式進行判斷，得出結(jié)論；
（3）如果△EOP與△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，則只能點O與點O對應(yīng)，然后分兩種情況分別討論：①點P與點A對應(yīng)；②點P與點B對應(yīng)．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式等知識點，要注意最后一問中，要分對應(yīng)角的不同來得出不同的對應(yīng)線段成比例，從而得出運動時間的值．不要忽略掉任何一種情況．