Question

 在直角梯形OABC中，CB//OA，ÐCOA=90°，CB=3，OA=6，BA=3。分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。

   (1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

   (2) 已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD=5，OE=2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F。求直線DE的解析      式；

   (3) 點(diǎn)M是(2)中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

 [解] (1) 如圖1，作BH^x軸于點(diǎn)H，則四邊形OHBC為矩形，

       ∴OH=CB=3，∴AH=OA-OH=6-3=3，

     在Rt△ABH中，BH===6，

  ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，6)

 (2) 如圖1，作EG^x軸于點(diǎn)G，則EG//BH，

∴△OEG~△OBH，∴== ，又∵OE=2EB，

 ∴=，∴==，∴OG=2，EG=4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，4)。

          又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，5)，設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，則，解得k= -，

          b=5。∴直線DE的解析式為：y= -x+5。

       (3) 答：存在。

          j 如圖1，當(dāng)OD=DM=MN=NO=5時(shí)，四邊形ODMN為菱形。作MP^y軸于點(diǎn)P，

             則MP//x軸，∴△MPD~△FOD，∴==。

             又∵當(dāng)y=0時(shí)，-x+5=0，解得x=10�！郌點(diǎn)的坐標(biāo)為(10，0)，∴OF=10。

             在Rt△ODF中，F(xiàn)D===5，∴==，

             ∴MP=2，PD=。∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2，5+)。

             ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2，)。

          k 如圖2，當(dāng)OD=DN=NM=MO=5時(shí)，四邊形ODNM

             為菱形。延長(zhǎng)NM交x軸于點(diǎn)P，則MP^x軸。

             ∵點(diǎn)M在直線y= -x+5上，∴設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為

             (a，-a+5)，在Rt△OPM中，OP 2+PM 2=OM 2，

             ∴a2+(-a+5)2=52，解得a1=4，a2=0(舍去)，

             ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，3)，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4，8)。

     l 如圖3，當(dāng)OM=MD=DN=NO時(shí)，四邊形OMDN為

        菱形。連接NM，交OD于點(diǎn)P，則NM與OD互相

        垂直平分，∴yM=yN=OP=，∴-xM+5=，∴xM=5，

        ∴xN= -xM= -5，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-5，)。

     綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有三個(gè)，分別為N1(-2，)，

               N2(4，8)，N3(-5，)。