Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點M，弦MN∥BC交AB于點E，且ME＝1，AM＝2，AE＝.

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)求的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)所給的三角形AME的三邊數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理逆定理可判斷出三角形AME是直角三角形，即∠AEM=90°，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可得∠B=90°，根據(jù)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.可證得BC是圓O的切線.(2)連接OM,根據(jù)正弦函數(shù)的定義sin∠A=,可求出∠A=30°，根據(jù)圓周角定理，可求出∠EOM=60°，在△OME中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義sin∠EOM=,可求出OM的值，知道了扇形的半徑和圓心角，利用弧長公式即可求出胡BM的長.

試題解析：（1）證明：∵ME=1，AM=2，AE=，∴ME²+AE²=AM²=4，

∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．

又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．

又∵OB是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連接OM．

在Rt△AEM中，sinA==，

∴∠A=30°．

∵AB⊥MN，

∴=，EN=EM=1，

∴∠BOM=2∠A=60°．

在Rt△OEM中，sin∠EOM=，

∴OM=，（1分）

∴的長度是：•=．

考點：1、切線的判定；2、弧長的計算.