Question

 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交

BC于點(diǎn)E．

（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；

（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

24．（1）證明：連接CD，∵AC是⊙O的直徑，∠ACB=90°，

∴BC是⊙O的切線(xiàn)，∵DE是⊙O的切線(xiàn)，

∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ADC=90°，

∴∠BDC=90°，∴∠B+∠DCB=90°，

∠BDE+∠EDC=90°，∴∠B=∠BDE，

∴BE=DE，∴BE=CE，即點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)。

（2）∵EC=3，∴BC=6， BD=，

在Rt△BCD中，cosB===.在Rt△ABC中，cosB=，∴AB==.

∴===18，∴AC=.

【解析】（1）連接CD，由∠ACB=90°得BC是⊙O的切線(xiàn)，再有DE是⊙O的切線(xiàn)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)相等可得DE=CE，所以∠EDC=∠ECD。因?yàn)椤螧+∠DCB=90°，∠BDE+∠EDC=90°，根據(jù)等角的余角相等可得∠B=∠BDE，所以BE=DE，結(jié)合DE=CE，所以BE=CE，即點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)。

（2）根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，再解直角三角形△BCD、△ABC求得AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)。