Question

已知：如圖(a)，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點E，EF⊥BD，垂足為F，可以證明＋＝成立(不要求考生證明)．

若將圖(a)中的垂直改為斜交，如圖(b)，AB∥CD，AD、BC相交于點E，過點E作EF∥AB交BD于點F，則

(1)＋＝還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

(2)請找出S_△ABD，S_△BED和S_△BDC間的關(guān)系式，并給出證明．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如圖． 　　(1)∵AB∥EF，∴＝． 　　∵CD∥EF，∴＝． 　　∴＋＝＋＝＝1． 　　∴＋＝． 　　(2)關(guān)系式為： 　　＋＝． 　　證明如下：分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K． 　　由題設(shè)可得：＋＝． 　　∴＋＝， 　　即＋ 　　＝ 　　又∵BD·AM＝S△ABD，BD·CK＝S△BCD，BD·EN＝S△BED， 　　∴＋＝．

提示：

(1)本題告訴我們AB、CD、EF在具備特殊條件(AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD)推出平行時，有結(jié)論＋＝．題目要求我們推斷一般條件下當AB∥CD∥EF時，＋＝是否成立．由特殊條件下成立，猜想一般條件下仍成立，我們把要證明的結(jié)論變形為＋＝1． 　　由條件AB∥EF，CD∥EF，易得出、的值．若能導出＋＝1，結(jié)論得證． 　　(2)觀察圖形可知△ABD、△BED、△BDC是同底(BD邊)的三個三角形，只要推出三個三角形在BD邊上的關(guān)系即可．