Question

如圖，直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于A、B點(diǎn)，與的圖象交于C、D點(diǎn)，E是點(diǎn)C在x軸上的正投影，若△AOD和△AEC的面積之和為3時(shí)，則k的值為________．

Answer 1

-2
分析：先求出A、B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，-x₁+2），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，-x₂+2）（x₁＞x₂），聯(lián)立y=-x+2與，則x₁、x₂是一元二次方程x²-2x+k=0的兩個(gè)根，根據(jù)方程根的定義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合已知面積的條件即可求出k的值．
解答：∵直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于A、B點(diǎn)，
∴A（2，0），B（0，2）．
把y=-x+2代入，整理，得x²-2x+k=0．
設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，-x₁+2），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₂，-x₂+2）（x₁＞x₂），
則x₁、x₂是一元二次方程x²-2x+k=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=2，x₁²-2x₁+k=0 ①．
∵△AOD的面積+△AEC的面積=3，
∴×2×（-x₂+2）+（x₁-2）（x₁-2）=3，
∴（-2x₂+4+x₁²-4x₁+4）=3，
將①代入上式，得-k+4=6，
∴k=-2．
故答案為-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)、方程根的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的面積公式，綜合性較強(qiáng)，難度中等．