Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，DB⊥AB于B，點C是弧AB上的任一點，過點C作⊙O的切線交BD于點E．連接OE交⊙O于F．

(1)求證：CE＝ED；

(2)填空：

①當∠D＝　 　時，四邊形OCEB是正方形；

②當∠D＝　 　時，四邊形OACF是菱形．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)①45°；②30°

【解析】

（1）證明：連接OC，由CE為⊙O的切線，可得OC⊥CE，∠OCE＝90°，所以∠ACO+∠DCE＝90°，因為BD⊥AB，所以∠A+∠D＝90°，又OA＝OC，∠A＝∠OCA，所以∠D＝∠DCE，因此CE＝ED；

（2）①若四邊形OCEB是正方形，則∠CEB＝90°，∠CED＝90°，因為CE＝ED，所以∠D＝∠DCE＝45°；

②若四邊形OACF是菱形，則OA＝AC，又OA＝OC，于是△OAC為等邊三角形，∠A＝60°，因為DB⊥AB，所以∠A+∠D＝90°，因此∠D＝30°．

解：（1）證明：連接OC，

∵CE為⊙O的切線，

OC⊥CE，

∴∠OCE＝90°，

∴∠ACO+∠DCE＝90°，

∵BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∴∠A+∠D＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠D＝∠DCE，

∴CE＝ED；

（2）若四邊形OCEB是正方形，

則∠CEB＝90°，

∴∠CED＝90°，

∵CE＝ED，

∴∠D＝∠DCE＝45°，

故答案為45°；

（3）若四邊形OACF是菱形，

則OA＝AC，

∵OA＝OC，

∴△OAC為等邊三角形，

∴∠A＝60°，

∵DB⊥AB，

∴∠A+∠D＝90°，

∴∠D＝90°﹣60°＝30°，

故答案為：30°．