Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，則下列結(jié)論：①∠AMD=90°；②M為BC的中點；③AB+CD=AD；④S△ADM=

1

2

S梯形ABCD；⑤M到AD的距離等于BC的一半；其中正確的有（　�。�

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

分析：過M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=

1

2

∠CDA，∠MAD=

1

2

∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=

1

2

（∠CDA+∠BAD）=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AMD，即可判斷①；根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MC=ME，ME=MB，即可判斷②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判斷③；根據(jù)SSS證△DEM≌△DCM，推出S_三角形DEM=S_三角形DCM，同理得出S_三角形AEM=S_三角形ABM，即可判斷④．

解答：解：
過M作ME⊥AD于E，
∵∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點，
∴∠MDE=

1

2

∠CDA，∠MAD=

1

2

∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD=

1

2

（∠CDA+∠BAD）=

1

2

×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，∴①正確；
∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME=

1

2

BC，∴②正確；
∴M到AD的距離等于BC的一半，∴⑤正確；
∵由勾股定理得：DC²=MD²-MC²，DE²=MD²-ME²，
又∵ME=MC，MD=MD，
∴DC=DE，
同理AB=AE，
∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正確；
∵在△DEM和△DCM中

DE=DC DM=DM ME=MC

，
∴△DEM≌△DCM（SSS），
∴S_三角形DEM=S_三角形DCM
同理S_三角形AEM=S_三角形ABM，
∴S_三角形AMD=

1

2

S_梯形ABCD，∴④正確；
故選D．

點評：本題考查了角平分線性質(zhì)，垂直定義，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力．