Question

（2009•河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE∥AB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）①當(dāng)α=______度時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為______；
②當(dāng)α=______度時(shí)，四邊形EDBC是直角梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為______；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)，①假設(shè)四邊形EDBC是等腰梯形，根據(jù)題目已知條件及外角和定理可求α，AD；②假設(shè)四邊形EDBC是直角梯形，根據(jù)題目已知條件及內(nèi)角和定理可求α，AD．
（2）根據(jù)∠α=∠ACB=90°先證明四邊形EDBC是平行四邊形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的長(zhǎng)度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比較得BD=BC，可證明四邊形EDBC是菱形．
解答：解：（1）①當(dāng)四邊形EDBC是等腰梯形時(shí)，
∵∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=30°，
∴△ADO是等腰三角形，
∴AD=OD，
過點(diǎn)O作OF∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OF⊥AC，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF=BC=1，
∵α=∠EDB-∠A=30°，
∴∠ODF=60°=∠DOF=60°，
∴△ODF是等邊三角形，
∴OD=OF=DF=1，
∵∠A=∠α=30°，
∴AD=OD=1；

②當(dāng)四邊形EDBC是直角梯形時(shí)，∠ODA=90°，而∠A=30°，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得α=90°-∠A=60°，此時(shí)，AD=AC×=1.5．

（2）當(dāng)∠α=90°時(shí)，四邊形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四邊形EDBC是平行四邊形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=2，
∴AO==．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=AD，
AD==，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四邊形EDBC是平行四邊形，
∴四邊形EDBC是菱形．
點(diǎn)評(píng)：解決此問題，既要弄清等腰梯形、直角梯形及菱形的判定，又要掌握有關(guān)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，也是解決問題的關(guān)鍵．