Question

關(guān)于x的一元二次方程x²+2（k-2）x+（k²+4）=0的實(shí)根x₁，x₂滿足

x

2 1

+

x

2 2

=x1x2+21，則k的值是

-1

．

Answer 1

分析：由關(guān)于x的一元二次方程x²+2（k-2）x+（k²+4）=0的實(shí)根x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-2（k-2），x₁•x₂=k²+4，由根的判別式，即可得△≥0，然后由實(shí)根x₁，x₂滿足

x

2 1

+

x

2 2

=x1x2+21，即可求得k的值．

解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2（k-2）x+（k²+4）=0的實(shí)根是x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（k-2），x₁•x₂=k²+4，△=[2（k-2）]²-4（k²+4）=-16k≥0，
∴k≤0，
∵x₁，x₂滿足

x

2 1

+

x

2 2

=x1x2+21，
即（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x₁•x₂+21，
∴[-2（k-2）]²-2（k²+4）=k²+4+21，
即k²-16k-17=0，
解得：k=-1或k=17（舍去）．
故k的值是：-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式．此題難度適中，注意掌握若二次項(xiàng)系數(shù)為1，x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時(shí)，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．