Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．

【小題1】求拋物線的解析式及頂點D的坐標
【小題2】判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
【小題3】點M(m，0)是x軸上的一個動點， 當CM+DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

【小題1】∵點A（-1，0）在拋物線y=x² + bx-2上，
∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =………………………………….（1分）
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2. y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,
∴頂點D的坐標為 (, -). ………………………………….（4分）
【小題2】當x = 0時y =" -2,      " ∴C（0，-2），OC = 2。
當y = 0時， x²-x-2 = 0，     ∴x₁ =" -1," x₂ =" 4,    " ∴B (4,0)
∴OA =" 1,   " OB =" 4,   " AB = 5.
∵AB² =" 25,   " AC² = OA² + OC² =" 5,   " BC² = OC² + OB² = 20,
∴AC² +BC² = AB².               
∴△ABC是直角三角形. ………………………………….（8分）
【小題3】作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小。

設直線C′D的解析式為y =" kx" + n ,
則，解得n =" 2,"  .
∴ .
∴當y = 0時， ，
 .    ∴.………………………………….（11分）

解析