Question

如圖，在正方形ABCD中，E是正方形內(nèi)一點，F(xiàn)是正方形外一點，且∠EDC=∠FBC，EC⊥CF．
（1）求證：EC=FC；
（2）當BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求tan∠FBE的值．

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD中，CD=CB，∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，
∵EC⊥CF，
∴∠BCF+∠BCE=90°，
∴∠BCF=∠DCE，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（ASA），
∴EC=FC；

（2）解：如圖，連接EF，∵EC⊥CF，EC=FC，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠BEC=135°，
∴∠BEF=∠BEC-∠CEF=135°-45°=90°，
∵BE：CE=1：2，
∴設BE=k，CE=2k，
則EF=CE=2k，
在Rt△BEF中，tan∠FBE===2．
分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得CD=CB，根據(jù)同角的余角相等可得∠BCF=∠DCE，然后利用“角邊角”證明△BCF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EC=FC；
（2）連接EF，先判定△ECF是等腰直角三角形，求出∠CEF=45°，然后求出∠BEF=90°，根據(jù)比例設BE=k，CE=2k，根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍求出EF，然后根據(jù)正切的定義解答即可．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，（2）作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關鍵．