Question

（2013•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（4-m）x+1-m=0．
（1）求證：無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）此方程有一個(gè)根是-3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y=x²+（4-m）x+1-m向右平移3個(gè)單位，得到一個(gè)新的拋物線，當(dāng)直線y=x+b與這個(gè)新拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由△=（4-m）²-4（1-m）=（m-2）²+8，可得△＞0，即可證得：無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）首先將x=-3代入原拋物線解析式，即可求得m的值，繼而求得新的拋物線，又由直線y=x+b與這個(gè)新拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可求得b的值．

解答：（1）證明：∵△=（4-m）²-4（1-m）
=m²-4m+12
=（m-2）²+8，
∴△＞0，
∴無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）把x=-3代入x²+（4-m）x+1-m=0，
得：9-3（4-m）+1-m=0，
解得m=1，
∴y=x²+3x．
即y=（x+

3

2

）²-

9

4

．
依題意，可知新的拋物線的解析式為y′=（x-

3

2

）²-

9

4

．
即y'=x²-3x，
∵拋物線y'與直線y=x+b只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴x²-3x=x+b，
即x²-4x-b=0．
∵△=0．
∴（-4）²-4×（-b）=0．
解得：b=-4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸以及與直線的交點(diǎn)問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握判別式的應(yīng)用．