Question

如圖1，在平面直角坐標系中，M為x軸正半軸上一點，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，P是AB延長線上的一點，過P點作⊙M的切線，切點為C，連接AC，交y軸于點E．若D點的坐標為（0，

3

），B點的坐標為（3，0）．

（1）求M點的坐標；
（2）若∠CPA=30°，求CE的長；
（3）在（2）的條件下，若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點Q．過C、Q、P作⊙N（如圖2），弦FQ⊥PQ，試找出線段CQ、FQ、PQ之間的固定的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理直接求出r，進而得出M點坐標；
（2）首先求出AC的長，再設(shè)OE=x，則AE=2x，在Rt△AOE中，OE²+OA²=AE²，得出AE的長即可得出答案；
（3）首先得出∠CQP=45°，進而得出△QCF≌△CGP（AAS），即可得出線段CQ、FQ、PQ之間的固定的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）如圖1，連接DM，設(shè)MD=MC=r，則MO=3-r
在Rt△DOM中，MO²+OD²=MD²，
即(3-r)2+(

3

)2=r2，
解得：r=2，
∴MO=3-r=3-2=1，
∴M（1，0）；

（2）如圖1，連接MC，由題意：∠MCP=90°
∵∠CPA=30°，
∴∠CMP=60°，
∵MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=

1

2

∠CMP=30°，
∴AC=

3

r=2

3

，
在Rt△AOE中，∠MAC=30°，
∴OE=

1

2

AE，
設(shè)OE=x，則AE=2x，
在Rt△AOE中，OE²+OA²=AE²，即x²+1²=（2x）²
解得：x=

3

3

，
∴AE=2x=

2 3

3

，
∴CE=AC-AE=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

；

（3）PQ-FQ=

2

CQ．
證明：如圖2，過C作CG⊥CQ，交PQ于G，
如圖1，∵PQ是∠CPA的平分線，
∴∠CPQ=∠QPA，
∵MA=MC，
∴∠CAM=∠ACM；
在△PCM中，
∵∠CAP+∠ACP+∠CPA=180°，
∴2∠CAM+2∠QPA=90°，∠CAM+∠QPA=45°，
∴∠CQP=∠CAP+∠QPA=45°，
即∠CQP的大小不發(fā)生變化為45°，
∵CG⊥CQ，
∴∠QCG=90°，
∴∠CGQ=∠CQG=45°，
∴CQ=CG，QG=

2

QC，
∵FQ⊥PQ，
∴∠FQP=90°，
∴∠FCP=90°，
∵∠QCF+90°=∠QCG+∠PCG=90°+∠PCG，
∴∠PCG=∠QCF，
在△QCF和△CGP中，

∠QFC=∠CPG ∠FCQ=∠PCG QC=CG

，
∴△QCF≌△CGP（AAS），
∴QF=PG，
∴PQ-PG=QG，即PQ-FQ=

2

QC．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)等知識，利用已知得出∠CQP的大小不發(fā)生變化為45°進而得出CQ=CG是解題關(guān)鍵．