Question

如圖，已知等邊△ABC中，AB=4．
實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）：①以線段AB為直徑作圓，圓心為O，AC、BC分別與⊙O交于點(diǎn)D、E；②延長AB到點(diǎn)P，使BP=OB，連接PE．
推理與運(yùn)用：請根據(jù)上述作圖解答下面問題：
（1）判斷PE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若點(diǎn)F是⊙O上一點(diǎn)，且點(diǎn)B是弧EF的中點(diǎn)，則弦EF的長為

2

3

．

Answer 1

分析：實(shí)踐與操作：作出AB的垂直平分線，進(jìn)而得出圓心位置，再根據(jù)要求畫出圖象即可；
（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出△OPE是直角三角形，再利用切線的判定得出即可；
（2）利用等邊三角形的判定得出△OBE是等邊三角形，再利用垂徑定理推論得出EF⊥OB，進(jìn)而利用勾股定理得出EM的長，即可求出EF的長．

解答：解：實(shí)踐與操作：如圖1所示：
推理與運(yùn)用：
（1）相切，理由如下：
如圖1，連接OE，
∵OB、OE是⊙O半徑，
∴OB=OE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴△EOB是等邊三角形，
∴EB=OB，
∵BP=OB，
∴在△OPE中，EB是OP邊上的中線，且EB=

1

2

OP，
∴△OPE是直角三角形，∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE與⊙O相切；

（2）如圖2，連接EF，交OB于點(diǎn)M，
∵等邊△ABC中，
∴∠ABC=60°，
∵BO=OE，
∴△OBE是等邊三角形，
∵AB=4，
∴BO=EO=BE=2，
∵點(diǎn)F是⊙O上一點(diǎn)，且點(diǎn)B是

EF

的中點(diǎn)，
∴EF⊥OB，
∴OM=BM=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴EM=

EO2-OM2

=

4-1

=

3

，
∴EF=2

3

．
故答案為：2

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了垂徑定理的推論以及等邊三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定等知識，利用垂徑定理推論得出EF⊥OB是解題關(guān)鍵．