Question

如圖，△ABC和△A₁B₁C₁均為等邊三角形，點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，又是A₁C₁的中點(diǎn)，則AA₁：BB₁=________．

Answer 1

分析：連接OB，OB₁，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OB⊥AC，B₁O⊥A₁C₁，推出∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，求出AB=2AO，A₁B₁=2A₁O，由勾股定理求出OB=AO，OB₁=A₁O，得出==，證△AOA₁∽△BOB₁，得出比例式，即可得出答案．
解答：連接OB，OB₁，
∵△ABC和△A₁B₁C₁均為等邊三角形，點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，又是A₁C₁的中點(diǎn)，
∴OB⊥AC，B₁O⊥A₁C₁，
∴∠BOC=∠B₁OC₁=90°，
∵∠COB₁=∠COB₁，
∴∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，
AB=2AO，A₁B₁=2A₁O，
由勾股定理得：OB=AO，OB₁=A₁O，
即==，
∵∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，
∴△AOA₁∽△BOB₁，
即AA₁：BB₁=．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：有兩邊成比例，且夾角相等的兩三角形相似，等腰三角形具有三線合一的性質(zhì)，題目比較典型，但有一點(diǎn)難度．