Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AD= 1,AB一2.將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB、CD交于點G、F,AE與FG交于點儀當觸ED的外接圓與BC相切于BC的中點N.則折痕FG的長為________

Answer 1

【答案】

【解析】試題解析：設(shè)AE與FG的交點為O．

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AO=EO．

取AD的中點M，連接MO．

則MO=DE，MO∥DC．

設(shè)DE=x，則MO=x，

在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

∴AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．

延長MO交BC于點N，則ON∥CD．

∴∠CNM=180°-∠C=90°．

∴ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形．

∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．

∵△AED的外接圓與BC相切，

∴ON是△AED的外接圓的半徑．

∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．

在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，

∴12+x2=（4-x）2．

解這個方程，得x=．

∴DE=，OE=2-x=．

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得AE⊥FG．

∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．

又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．

∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．

∴FG=2FO=．

∴折痕FG的長是.