(1)解:直線AB是⊙O的切線.理由如下:
如圖,連接OC.
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC⊥AB.
又∵OC是⊙O的半徑,
∴AB是⊙O的切線;
(2)證明一:∵ED是⊙O的直徑,
∴∠ECD=90°(直徑所對的圓周角是直角),
∴∠E+∠EDC=90°(直角三角形的兩個銳角互余).
又∵∠BCD+∠OCD=90°,∠OCD=∠ODC,
∴∠BCD=∠E.
又∵∠CBD=∠EBC,
∴△BCD∽△BEC.
∴
=
,
∴BC
2=BD•BE;
證明二:由(1)知,BC是⊙O的切線.
∵BDE是⊙O的割線,
∴BC
2=BD•BE;
(3)∵tan∠CED=
,
∴
=
.
由(2)知,△BCD∽△BEC,則
=
=
,
∴BC=2BD.
設BD=x,BC=2x.又BC
2=BD•BE,∴(2x)
2=x•(x+6),
解得x
1=0,x
2=2,
∵BD=x>0,
∴BD=2,
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5.
在Rt△OAC中,OA=5,OC=3,則根據勾股定理求得AC=4.
∴AB=2AC=8,
∴S
△OAB=
AB•OC=
×8×3=12,即△OAB的面積是12.
分析:(1)連接OC,根據OA=OB,CA=CB,可以證明OC⊥AB,利用切線的判定定理,經過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,得到AB是⊙O的切線;
(2)根據ED是直徑,直徑所對的圓周角是直角,以及圓的切線垂直于過切點的半徑,利用等量代換得到∠E=∠BCD,又∠B公共,可以證明△BCD∽△BEC,然后利用相似三角形的性質,對應線段的比相等得到BC
2=BD•BE.
(3)根據△BCD∽△BEC,得BD與BC的比例關系,最后由切割線定理列出方程求出OA的長.在直角三角形AOC中,由勾股定理求得AC邊的長度;最后由三角形的面積公式即可求得△OAB的面積.
點評:本題考查了圓的綜合題.其中涉及到的知識點有:
①切線的判定,例如:第(1)題,是利用等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高,得到OC⊥AB,證明AB是⊙O的切線;
②相似三角形的判定與性質.例如:第(2)題,是根據題意證明兩個三角形相似,利用相似三角形的性質,得到線段BC,BD和BE的數量關系;
③三角形的面積公式;
④等腰三角形的性質.