Question

如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC與⊙O相交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．
（1）試探求A，P，O，M四點(diǎn)是否在一個圓上？證明你的結(jié)論；
（2）求∠OAM+∠APM的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP，OM．由切線的性質(zhì)知，M是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，由垂徑定理知，OM⊥BC．由于OP⊥AP，OM⊥BC；根據(jù)直角對的弦是直徑知，A，P，O，M四點(diǎn)是以O(shè)A為直徑的圓上的點(diǎn)，所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓；
（2）由于A，P，O，M四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得∠OAM=∠OPM，而OP⊥AP，且圓心O在∠PAC的內(nèi)部，所以∠OPM+∠APM=90°，則∠OAM+∠APM=90°．
解答：解：（1）連接OP，OM；
∵AP與⊙O相切于點(diǎn)P，
∴OP⊥AP．
∵M(jìn)是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，
∴OM⊥BC．
設(shè)OA的中點(diǎn)為N，
由OP⊥AP，OM⊥BC知，
Rt△OAP與Rt△OAM斜邊OA上的中線滿足PN=MN=OA，
∴ON=AN=PN=MN．
∴A，P，O，M四點(diǎn)到點(diǎn)N的距離相等，
∴A，P，O，M四點(diǎn)共圓．

（2）由A，P，O，M四點(diǎn)共圓，得∠OAM=∠OPM，
而OP⊥AP，且圓心O在∠PAC的內(nèi)部，
∴∠OPM+∠APM=90°．
∴∠OAM+∠APM=90°．
點(diǎn)評：本題利用了切線的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角，直角對的弦是直徑，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，求解．