Question

如圖，已知AB是⊙O直徑，AC是⊙O弦，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，弦DE⊥AB，垂足為F，DE交AC于點(diǎn)G．
（1）若過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線ME，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（請(qǐng)補(bǔ)完整圖形），試問(wèn)：ME=MG是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在滿(mǎn)足第（2）問(wèn)的條件下，已知AF=3，F(xiàn)B=，求AG與GM的比．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，并延長(zhǎng)EO交⊙O于N，連接DN；由于ME是⊙O的切線，則∠MEG=∠N，而∠MGE=∠AGF，易證得∠AGF=∠B，即∠MGE=∠B，若證ME=MG，關(guān)鍵就是證得∠N=∠B；可從題干入手：點(diǎn)D是弧ABC的中點(diǎn)，則弧AD=弧DBC=弧AE，所以弧DBE=弧AEC，即AC=DE，由此可證得∠N=∠B，即可得到∠MGE=∠MEG，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證．
（2）根據(jù)相交弦定理可求得DF、EF的長(zhǎng)，即可得到DE、AC的長(zhǎng)，易證得△AFG∽△ACB，根據(jù)所得比例線段即可求得AG、GC的長(zhǎng)，再由（1）證得ME=MG，可用MG分別表示出MA、MC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)切割線定理求出MG的長(zhǎng)，有了AG、MG的值，那么它們的比例關(guān)系就不難求出．
解答：解：（1）ME=MG成立，理由如下：
如圖，連接EO，并延長(zhǎng)交⊙O于N，連接BC；
∵AB是⊙O的直徑，且AB⊥DE，
∴，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，即AC=DE，∠N=∠B；
∵M(jìn)E是⊙O的切線，
∴∠MEG=∠N=∠B，
又∵∠B=90°-∠GAF=∠AGF=∠MGE，
∴∠MEG=∠MGE，故ME=MG．

（2）由相交弦定理得：DF²=AF•FB=3×=4，即DF=2；
故DE=AC=2DF=4；
∵∠FAG=∠CAB，∠AFG=∠ACB=90°，
∴△AFG∽△ACB，
∴，即，
解得AG=，GC=AC-AG=；
設(shè)ME=MG=x，則MC=x-，MA=x+，
由切割線定理得：ME²=MC•MA，即x²=（x-）（x+），
解得MG=x=；
∴AG：MG=：=10：3，即AG與GM的比為．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道圓的綜合題，涉及到：切線的性質(zhì)、圓周角定理、相交弦定理、弦切角定理、切割線定理等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，能夠發(fā)現(xiàn)AC、DE的等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵所在．