Question

如圖，已知拋物線y＝a(x－1)²＋(a≠0)經(jīng)過點A(－2，0)，拋物線的頂點為D，過O作射線OM∥AD．過頂點D平行于軸的直線交射線OM于點C，B在軸正半軸上，連結(jié)BC．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設(shè)點P運動的時間為t（s）．問：當(dāng)t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC＝OB，動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當(dāng)其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設(shè)它們的運動的時間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時，四邊形BCPQ的面積最��？并求出最小值及此時PQ的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）y＝－(x－1)²＋（2）當(dāng)t＝6s、5s、4s時，四邊形DAOP分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形．（3）t＝（s）時，S_{四邊形BCPQ}的最小值為，PQ的長為

【解析】解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)²＋，得0＝a(－2－1)²＋．

∴a＝－································· 1分

∴該拋物線的解析式為y＝－(x－1)²＋

即y＝－x ²＋x＋．······················· 3分

（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為(x_D，y_D)，由于D為拋物線的頂點

∴x_D＝－＝1，y_D＝－×1 ²＋×1＋＝．

∴點D的坐標(biāo)為(1，)．

如圖，過點D作DN⊥x軸于N，則DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．

∴∠DAO＝60°······························· 4分

∵OM∥AD

①當(dāng)AD＝OP時，四邊形DAOP為平行四邊形．

∴OP＝6

∴t＝6（s）························ 5分

②當(dāng)DP⊥OM時，四邊形DAOP為直角梯形．

過點O作OE⊥AD軸于E．

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．

（注：也可通過Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）

∵四邊形DEOP為矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．

∴t＝5（s）································ 6分

③當(dāng)PD＝OA時，四邊形DAOP為等腰梯形，此時OP＝AD－2AE＝6－2＝4．

∴t＝4（s）

綜上所述，當(dāng)t＝6s、5s、4s時，四邊形DAOP分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形．

······································ 7分

（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．

又∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．

∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）

過點P作PF⊥x軸于F，

則PF＝t．······························· 8分

∴S_{四邊形BCPQ} ＝S_△COB －S_△POQ

＝×6×－×(6－2t)×t

＝(t－)²＋··························· 9分

∴當(dāng)t＝（s）時，S_{四邊形BCPQ}的最小值為．················ 10分

此時OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．

∴PQ＝＝＝················· 12分

（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)²＋，求得a的值，從而求得該拋物線的解析式

（2）由拋物線的解析式求得點D的坐標(biāo)，過點D作DN⊥x軸于N，①當(dāng)AD＝OP時，四邊形DAOP為平行四邊形．②當(dāng)DP⊥OM時，四邊形DAOP為直角梯形．③當(dāng)PD＝OA時，四邊形DAOP為等腰梯形，分別求得出t的值

（3）由已知求得OB＝OC＝AD＝6，過點P作PF⊥x軸于F，從而求得四邊形BCPQ面積關(guān)系式，求得t的值和面積的最小值，利用勾股定理求得PQ的長